☛ Limite de limite

Pour tout entier \(n\geqslant1\) , on considère la fonction \(f_n\)  définie sur  \([0;+\infty[\) par \(f_{n}(x)=\dfrac{1}{1+x^{n}}\) . On note  \(\mathscr{C}_{n}\) la courbe représentative de \(f_n\) .

1. \(\forall_n\geqslant1, f_n(0)=1\)  et  \(f_n(1)=\dfrac{1}{2}\) donc toutes les courbes  \(\mathscr{C}_n\) passent par \(\text A(0;1)\)  et \(\text B\left(1; \dfrac{1}{2} \right)\) .

2. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\;(1+x^n) =+\infty\)   donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f_n (x) =0\) .

3. a. Le graphique suggère que : 
si \(x\in[0;1[, \lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x) = 1\) .
si \(x = 1, \lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x) = \dfrac{1}{2}\)
si \(x\in]1;+ \infty[, \lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x) = 0\) .

    b. Si \(x\in[0;1[,\)  alors  \(\lim\limits_{n \to +\infty} x^n =0.\)  D'où \(\lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x) =1\) .
Si \(x=\dfrac{1}{2},\)  alors \(f_n(1)=\dfrac{1}{2}\) . \(\lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x)=\dfrac{1}{2}\) .
Si \(x\in] 1;+\infty[,\)  alors \(\lim\limits_{n \to +\infty} x^n =+\infty. \lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x)=0\)

4. D’après ce qui précède, \(f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si}\;x \in [0;1[\\1/2& \text{si}\;x=1\\0 &\text{si}\;x \in]1;+\infty[\end{cases}\)

L'affirmation revient à prouver qu'il existe un réel positif \(x_0\)  tel que   \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\lim\limits_{x \to x_0} f_n (x)\right ) \neq \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) .

On pose  \(x₀ =1⁺\) .

\(\lim\limits_{x \to 1^+}f_n (x)=f_n(1)\)  car la fonction   \(f_n\) est continue en \(1\) .
Donc  \(\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\lim\limits_{x \to 1^+}f_n (x)\right) = \lim\limits_{n \to +\infty} f_n (1)= \dfrac{1}{2}\)  mais \(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 0\) .
Par conséquent, \(\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\lim\limits_{x \to 1^+}f_n (x)\right) \neq \lim\limits_{x \to 1⁺} \left(\lim\limits_{n \to +\infty}f_n (x)\right)\) . Yanis avait donc raison.

Remarque

On dit que la suite de fonctions \((f_n)\)   ne converge pas uniformément vers  \(f\) sur \(\mathbb{R}_+\) .